Distribusi Binomial

Satu atau serangkaian eksperimen dinamakan eksperimen Binomial bila dan hanya bila eksperimen yang bersangkutan terdiri dari percobaan-percobaan Bernoulli (percobaan-percobaan Binomial ).

Definisi :

               

Misalnya kita melakukan suatu eksperimen yang hanya menghasilkan dua peristiwa, seperti peristiwa sukses (S) dan peristiwa gagal (G).

                Peluang terjadinya peristiwa S, P(S), sebesar p dan peluang terjadinya peristiwa G, P(G), sebesar 1 – p.

                Kemudian eksperimen itu diulang sampai n kali secara bebas. Dari n kali pengulangan itu, peristiwa S terjadi sebanyak x kali dan sisanya (n  – x)kali terjadi peristiwa G. Kita akan menghitung besar peluang bahwa banyak peristiwa sukses dalam eksperimenitu sebanyak x kali.

                Dalam hali ini, salah satu susunan dari pengulangan eksperimen sampai n kali itu adalah :

 S  S  S . . .  S G  G G G . . . G

                                                                                 X kali             (n – x)

Karena setiap pengulangan bersifat bebas, P(S ) = p dan P(G) = 1 –p berharga tetap untuk setiap pengulangan percobaan, maka besar peluang dari peristiwa susunan diatas adalah :

P(S S S . . .S G G . . . G) = P(S). P(S).P(S) . . .P(S) . P(G) . P(G) . P(G) . . .P(G)

                                            = (p) (p) (p) . . . (p) (1 – p ) (1 – p ) (1 – p ) . . . (1 – p )

Karena banyak susunan keseluruhan peristiwa S terjadi dalam x kali adalah:

                                            P(X = x ) =  p^x (1- p)^{n – x}

            Untuk lebih memahami konsep Distribusi Binomial, dibawah ini dilakukan percobaan terhadap kotak berisi 10 buah pingpong.

·         Suatu kotak berisi 10 buah bola pingpong, 3 diantaranya berwarna merah (selainnya berwarna bukan merah). Terhadap bola pingpong yang terdapat dalam kotak tadi, dilakukan percobaan sbb :

Diambil sebuah bola pingpong dari kotak tersebut dan dilihat warnanya, kemudian bola pingpong tadi dikembalikan ke kotak semula. Pengambilan ini dilakukan sebanyak 4 kali. Dari ke 4 pengambilan bola tersebut, berapa besar probabilitas 3 bola merah yang terambil ?

Percobaan ini memenuhi kriteria Distribusi Binomial (termasuk percobaan Bernoulli) karena memiliki ciri-ciri diantaranya : probabilitas sukses (terambilnya bola merah) pada tiap-tiap percobaan (pengambilan bola) adalah sama (p=3/10).

Probabilitas 3 bola merah terambil ® dapat dicari dengan menggunakan rumus fungsi Probabilitas Binomial :

P ( S = x ) =  C _n,x  px  q_n-x   

n = 4                 p=3/10                            

x = 3                 q=1-p=7/10

      

P(S=3)= C _4,3   (3/10)3  (7/10)

           

           4x3x2x1

      =  ¾¾¾¾ (3/10)3  (7/10) = 0,0756

             3x2x1